Aufgabe 20

1) Trägheitstensor eines Würfels mit Kantenlänge b. Da es ein Würfel mit homogener Dichte ist und der Koordinatenursprung in der Mitte liegen soll, werde ich nur einen Trägheitstensor für eine Drehung um eine der Hauptachsen berechnen, da die anderen gleich sind; in diesem Fall wird es die z-Achse sein. Die Dichte ist einfach Gesamtmasse durch Gesamtvolumen.

ρ = m/(b^3);
Izwuerfel = ρ Integrate[((x^2) + (y^2)), {x, -(b/2), 
            (b/2)}, {y, -(b/2), (b/2)}, {z, -(b/2), 
            (b/2)}]

2) Trägheitstensor einer Kugel mit Radius r. Da es eine Kugel mit homogener Dichte ist und der Koordinatenursprung in der Mitte liegen soll, werde ich nur einen Trägheitstensor für eine Drehung um eine der Hauptachsen berechnen, da die anderen gleich sind; in diesem Fall wird es die z-Achse sein. Da es einfacher ist, mache ich es in Kugelkoordinaten.
Das Volumenelement ist dann (wir haben das gerade in Mathe gemacht) dV = (r^2) 
          Sin[θ] dr dθ dφ. Und (x^2) + (y^2) =  (r^2) Sin[θ]^2.
Die Dichte ist einfach Gesamtmasse durch Gesamtvolumen.

ρ = m/((4/3) π (r^3));
Iz = ρ Integrate[((r^2) Sin[θ]^2) ((r^2) 
                Sin[θ]), {r, 0, r}, {θ, 
            0, π}, {φ, 0, 2  π}]

3) Trägheitstensor eines Kreisrings (ganz dünner Torus oder auch Reifen) mit Radius r. Zuerst kommt der Trägheitstensor um die z-Achse (das soll dann z.B. die Achse von einem Lenkrad sein). Das ist trivialerweise

ρ = m/(2  π r);
Iz = ρ  (r^3) 2 π

Und die beiden anderen (einander gleichen) Trägheitstensoren um die x- bzw. die y-Achse, wobei nach den Kreisstücken ds = r dφ integriert wird:

Ix = Iy = ρ Integrate[((r^2) Sin[φ]^2) 
              r, {φ, 0, 2  π}]

4) Trägheitstensor eines Würfels der nicht am Schwerpunkt fest ist, sondern wie im Aufgabenblatt beschrieben.

ρ = m/(b^3);
Ix = Izwuerfel + m ... 
Iy = 
Iz=