Aufgabe 9

Sphärisches Pendel dargestellt im Phasenraum (mit unterschiedlichen Anfangsauslenkungen θ).
Dabei bezeichnet m die Masse, l die Pendellänge, θ den Winkel zwischen negativer z-Achse und Pendel, ϕ den Winkel (in der x-y-Ebene) zwischen positiver x-Achse und Pendel.
T ist die potentielle Energie, V das Potential (in diesem Fall die Erdanziehung). L bezeichnet die Lagrange-Funktion, H die Hamilton-Funktion.

x = 
        l Sin[θ[t]] Cos[ϕ[t]];
y = l Sin[θ[t]] Sin[ϕ[t]];
z = -l Cos[θ[
              t]];

  
v = (Sqrt[((((∂_t) x))^2) + ((((∂_t) y))^2) + ((((∂_t) z))^2)]);

 (* 
      kinetische und potentielle Energie *) 
T = (1/2) m (v^2);
V = 
        m g z;


 (* Lagrange *) 
L = T - V  // Simplify;

  
H = 
        (Subscript[p, ϕ])[t] (∂_t) ϕ[t] +  
            (Subscript[p, θ])[t] (∂_t) θ[t] - L  // 
          Simplify;

  
beweggl1 = 
        (Subscript[p, ϕ])[t] == (∂_(ϕ'[t])) 
            L;
beweggl2 = 
        (Subscript[p, θ])[t] == (∂_(θ'[t])) 
            L;
beweggl3 = (Subscript[p, ϕ])'[
            t] == -(∂_(ϕ[t]))H;
beweggl4 = (Subscript[p, θ])'[
            t] == -(∂_(θ[t]))H;

(* 
      Anfangsbedingungen *) 

(Subscript[p, ϕ])0 = 
        (Subscript[p, ϕ])[0] == 1;
(Subscript[p, θ])0 = 
        (Subscript[p, θ])[0] == (1/2);
(Subscript[ϕ, 0]) = ϕ[0] == (π/4);
(Subscript[θ, 01]) = θ[0] == (π/2); (Subscript[θ, 02]) = θ[
          0] == (π/4); (Subscript[θ, 03]) = θ[
          0] == (π/8); (Subscript[θ, 04]) = θ[
          0] == (π/16);
m = 1;
l = 1;
g = 9.81;

Für die einzelnen Startwinkel θ wurden im Graph zur Unterscheidung verschiedene Farben benutzt.
Für (Subscript[θ, 01]) = (π/2)wurde die Farbe ROT gewählt.
Für (Subscript[θ, 02]) = (π/4)wurde die Farbe GELB gewählt.
Für (Subscript[θ, 03]) = (π/8)wurde die Farbe GRÜN gewählt.
Für (Subscript[θ, 04]) = (π/16)wurde die Farbe BLAU gewählt.

Man kann die zeitliche Entwicklung in der Animation (Animate Selected Graphics) sehen (unnötig aber schön).

Zeitspanne = 1.28;

    
loes1 = 
        NDSolve[{beweggl1, beweggl2, beweggl3, beweggl4, (Subscript[p, ϕ])0, 
            (Subscript[p, θ])0, (Subscript[ϕ, 0]), (Subscript[θ, 01])}, {(Subscript[p, ϕ])[t], 
            (Subscript[p, θ])[t], ϕ[t], θ[t]}, {t, 0, 
            Zeitspanne}];
loes2 = 
        NDSolve[{beweggl1, beweggl2, beweggl3, beweggl4, (Subscript[p, ϕ])0, 
            (Subscript[p, θ])0, (Subscript[ϕ, 0]), (Subscript[θ, 02])}, {(Subscript[p, ϕ])[t], 
            (Subscript[p, θ])[t], ϕ[t], θ[t]}, {t, 0, 
            Zeitspanne}];
loes3 = 
        NDSolve[{beweggl1, beweggl2, beweggl3, beweggl4, (Subscript[p, ϕ])0, 
            (Subscript[p, θ])0, (Subscript[ϕ, 0]), (Subscript[θ, 03])}, {(Subscript[p, ϕ])[t], 
            (Subscript[p, θ])[t], ϕ[t], θ[t]}, {t, 0, 
            Zeitspanne}];
loes4 = 
        NDSolve[{beweggl1, beweggl2, beweggl3, beweggl4, (Subscript[p, ϕ])0, 
            (Subscript[p, θ])0, (Subscript[ϕ, 0]), (Subscript[θ, 04])}, {(Subscript[p, ϕ])[t], 
            (Subscript[p, θ])[t], ϕ[t], θ[t]}, {t, 0, 
            Zeitspanne}];


\(\(Table[
        ParametricPlot[{{θ[t], p\_θ[t]} /. 
              loes1, {θ[t], p\_θ[t]} /. 
              loes2, {θ[t], p\_θ[t]} /. 
              loes3, {θ[t], p\_θ[t]} /. loes4}, {t, 0, Zeit}, 
          AxesLabel -> {"θ", \*""\!\(p\_θ\)""}, 
          ImageSize -> {500, 500}, 
          PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[1, 1, 0], 
              RGBColor[0, 0.8, 0], RGBColor[0, 0, 1]}, 
          PlotRange -> {{0, 2}, {\(-5\), 5}}], {Zeit, 0, Zeitspanne, 
          Zeitspanne/50}];\)\)