Aufgabe 7

Numerische Berechnung der Bewegung eines ebenen Pendels mit variabler Pendellänge (mit Lagrange 2. Art).

Die x-Achse geht von links nach rechts (links negativ, rechts positiv), die y-Achse von unten nach oben (unten negativ, oben positiv). Der Nullpunkt (x = 0, y = 0) befindet sich am Aufhängepunkt des Pendels.

Das Pendel hat eine variable Länge l und feste  Masse m. ϕ ist der Winkel zwischen Pendel und negativer y-Achse.

l := lo - k t
x := l Sin[ϕ[t]]
y := -l Cos[ϕ[
            t]]

T := ((m )/2) (D[x, t]^2 + 
            D[y, t]^2)
V := m g y

L = T - V

m := 1
g := 9.81
lo := 5
k := 1

Zeitspanne = Zeitspanne1 = 
          4.9;

gleichung71 := 
      D[L, ϕ'[t], t] - D[L, ϕ[t]] == 
        0

pendel1 = 
        NDSolve[{gleichung71, ϕ[0] == π/4, ϕ'[
                0] == 0}, ϕ[t], {t, 0, Zeitspanne}, 
          MaxSteps -> 
            Round[Zeitspanne] 1000];

Plot[ϕ[t] /. pendel1, {t, 0, Zeitspanne}, 
      AxesLabel -> {t, ϕ}]

lo := 10
k := (1/2)
\(\(Zeitspanne = \(Zeitspanne2 = 19.9\);\)
\)
pendel2 = 
        NDSolve[{gleichung71, ϕ[0] == π/8, ϕ'[
                0] == 0}, ϕ[t], {t, 0, Zeitspanne}, 
          MaxSteps -> 
            Round[Zeitspanne] 1000];

Plot[ϕ[t] /. pendel2, {t, 0, Zeitspanne}, 
      AxesLabel -> {"t", "ϕ"}]

Aufgabe 8

Teilchen im Zentralpotential.

Wenn Veff minimal ist, bleibt r konstant und ergibt damit eine Kreisbahn. r hängt dann nur noch von der Winkelgeschwindigkeit bzw. dem Drehimpuls ab.

Veff = r + ((p^2)/(2 m (r^2)))

D[%, r]

Solve[% == 0, r]

Nur die erste der drei Lösungen ist sinnvoll, da r positiv und reell sein soll.

r1 := ((p^(2/3))/(m^(1/3)))
r := r1

    
Veff

m := 1
p := 1
Plot[{Veff, r, (p/(2 m (r^2))), 2}, {r, 0, 3}, 
      AxesLabel -> {"r", "V"}, AxesOrigin -> {0, 0}, 
      PlotRange -> {0, 3}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[0, 0.8, 0], Dashing[{0.02}], 
          Dashing[{0.02}], RGBColor[1, 0, 0]}]

Wenn ein Teilchen eine größere Energie als die minimale hat, dann läuft es zwischen zwei zwei Umkehrpunkten hin und her. Diese Umkehrpunkte befinden sich dann z.B. bei den Schnittpunkten der roten und grünen Linie (wobei die rote Linie eine bestimmte Energie des Teilchens (größer als die minimale) und die grüne Linie das effektive Potential darstellt).

m := 1
r =. 
V := r[t]  +  β r[t]^2
β := 0
Zeitspanne := 60

    
L := (m/2) (r'[t]^2 + r[t]^2 ϕ'[t]^2) - 
        V
gleichung81 := 
      D[L, ϕ'[t], t] - D[L, ϕ[t]] == 0 // 
        FullSimplify
gleichung82 := 
      D[L, r'[t], t] - D[L, r[t]] == 0 // 
        FullSimplify

loesung1 = NDSolve[{gleichung81, gleichung82, ϕ[0] ==  0, 
            r[0] ==  1, ϕ'[0] == 1, r'[0] ==  0.5}, {ϕ[
              t], r[t]}, {t, 0, Zeitspanne}, 
          MaxSteps -> 
            Zeitspanne  200][[1]]

ParametricPlot[{r[t] Cos[ϕ[t]] /. loesung1, 
        r[t] Sin[ϕ[t]] /. loesung1}, {t, 0, Zeitspanne}, 
      AxesLabel -> {"x", "y"}]

Jetzt wird β ≻ 0 gewählt.

β := 0.1

    
loesung2 = NDSolve[{gleichung81, gleichung82, ϕ[0] == 0, 
            r[0] == 1, ϕ'[0] == 1, r'[0] == 
              0.5}, {ϕ[t], r[t]}, {t, 0, Zeitspanne}, 
          MaxSteps -> 
            Zeitspanne 200][[1]]

ParametricPlot[{r[t] Cos[ϕ[t]] /. loesung2, 
        r[t] Sin[ϕ[t]] /. loesung2}, {t, 0, Zeitspanne}, 
      AxesLabel -> {"x", "y"}]

Prüfen, ob es immer stabile Kreisbahnen gibt:

m := 1
p =. 
V := r  +  β (r^2)
β := 0.1

Veff = V + ((p^2)/(2 m (r^2)))

gleichung3 = D[Veff, r]

radius  := Solve[{gleichung3 == 0}, r][[4]]

\(Plot[\(-1.25`\) - 
        0.5`\ √\((\(\(6.25`\)\(\)\) - \(2.581988897471611`\ p\^\(4/3\)\)\/\((\(-3.6309218870694533`\) + 1.`\ \@\(\(\(13.18359375`\)\(\)\) + p\^2\))\)\^\(1/3\) + 
                2.581988897471611`\ p\^\(2/3\)\ \((\(-3.6309218870694533`\) + 1.`\ \@\(\(\(13.18359375`\)\(\)\) + p\^2\))\)\^\(1/3\))\) + 
        0.5`\ √\((\(\(12.5`\)\(\)\) + \(2.581988897471611`\ p\^\(4/3\)\)\/\((\(-3.6309218870694533`\) + 1.`\ \@\(\(\(13.18359375`\)\(\)\) + p\^2\))\)\^\(1/3\) - 
                2.581988897471611`\ p\^\(2/3\)\ \((\(-3.6309218870694533`\) + 1.`\ \@\(\(\(13.18359375`\)\(\)\) + p\^2\))\)\^\(1/3\) + 
                31.25`/\((√\((\(\(6.25`\)\(\)\) - \(2.581988897471611`\ p\^\(4/3\)\)\/\((\(-3.6309218870694533`\) + 1.`\ \@\(\(\(13.18359375`\)\(\)\) + p\^2\))\)\^\(1/3\) + 
                          2.581988897471611`\ p\^\(2/3\)\ \((\(-3.6309218870694533`\) + 1.`\ \@\(\(\(13.18359375`\)\(\)\) + p\^2\))\)\^\(1/3\))\))\))\), {p, 1, 3}, AxesLabel -> {"p", "r"}]\)

So wie es im Plot aussieht, gibt es immer eine stabile Kreisbahn, abhängig vom gewählten anfänglichen Drehimpuls p.